Articles / janvier 29, 2022

Exemple de Théorème de Superposition avec Solution

Dans l’article Exemple de Théorème de Superposition avec Solution, nous avions résolu différents types de problèmes concernant le Théorème de Superposition. En résolvant ces exemples, nous supposons que vous avez une connaissance du théorème de superposition. Consultez l’article sur le Théorème de superposition.

Exemple 1 : Trouver I dans le circuit représenté sur la figure 1.

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 1

Solution: Le principe de superposition est appliqué en prenant la source 1V seulement au début (figure2)

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 2

$I_s =\dfrac{1V}{\Omega} = \dfrac{1}{1.5}A$

$I_1 = I_s\dfrac{3}{3 + 2+ 1} = \ dfrac {1} {1.2}\times\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{3} A$

Ensuite, supposons la source actuelle uniquement (figure 3)

$I_2 = 1\ fois\dfrac{1}{1 + 2} = \ dfrac {1} {3}A$

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 3

On peut observer qu’en utilisant le principe de Superposition, la réponse nette peut être obtenue lorsque les deux sources (1A et 1V) sont présentes.

Le courant traversant la résistance 2Ω est obtenu comme

$I =(I_1-I_2) = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} = 0$

Exemple: 2 En utilisant le théorème de superposition, trouvez le courant à travers une liaison qui doit être connectée entre les bornes a-b. Supposons que la résistance de liaison soit nulle.

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 4

Solution:

Comme la résistance de liaison entre les bornes a-b est nulle, la liaison est pratiquement une liaison de court-circuit et le courant traversant la liaison est supposé être Is.c.

Prenons d’abord la source 50V. La configuration du circuit pour ce cas est illustrée à la figure 5.

$I_ {s.c_1} = \dfrac{50}{10} = 5A$

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 5

Ensuite, les sources 10V et 20V sont considérées et la configuration du circuit est représentée sur la figure 6.

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 6

Ici,

$I_{s.c_2} = \dfrac{20 +10}{3 + 2 +10} = 2A$

Suivant le théorème de superposition,

$I_{s.c} = I_{s.c_1} + I_{s.c_2} = 5 + 2 = 7A$

c’est-à-dire que le courant traversant la liaison de court-circuit est de 7A.

Exemple 3: Trouvez vL dans le circuit de la figure 7 en utilisant le théorème de superposition.

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 7

Solution:

Prenons d’abord la source 2V désactivant les sources de courant (figure 8).

$i_1 =\dfrac{2}{\dfrac{2\fois 2}{2 + 2} + 1} = 1 BIS$

⸫ v1 (chute à travers rL en raison de la source 2V)

= 1 × 1 = 1V

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 8

Ensuite, prenez uniquement la source de courant inférieure (figure 9).

$i_2 =(-5) \dfrac {1} {1+1+\dfrac{2}{3}} = (- 5) \ dfrac{3}{8} = -\dfrac{15}{8}A.$

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 9

$\ par conséquent, i_3 = -(\dfrac{15}{8}) \dfrac{2}{1 + 2} = -(\ dfrac{15}{8}) \dfrac{2}{3} = -\dfrac{5}{4} A$

Cela donne

$v_2 =-\dfrac{5}{4} \times 1 = -\dfrac{5}{4} V.$

Dans la figure 10,

$i_4 = 5.33\dfrac{1}{\dfrac{2}{3} + 2} = 3 BIS$

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 10

Cela donne

$i_{r_L} = 3\dfrac{2}{2 + 1} = 2A.$

$\ par conséquent, v_3 = 2\fois 1 = 2V$

Par superposition,

$v_L = v_1 + v_2 + v_3 = 1+(-\dfrac{5}{4}) + 2 = \ dfrac {7} {4}V$

$= 1.75 V.$

Exemple 4: Trouvez io et i à partir du circuit de la figure 11 en utilisant le théorème de superposition.

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 11

Solution:

En supposant que seule la source 6V soit active, en référence à la figure 12(a).

$-6 + (1 + 5){ i_o}^{'} +2 {i_o}^{$

$8{ i_o}^{'} = 6\text {}\ par conséquent {i_o}^{'} = \dfrac{3}{4}A$

$\ par conséquent {i_o} ^{'} = i ^{'} = \dfrac{3}{4}A$

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 12

Ensuite, en supposant 1A source source active uniquement, en référence à la figure 12 (b).

$1 = { i_o}^{$

$= \ dfrac {v^{$

Mais ${i_o}^{$

⸫ Nous obtenons enfin,

$1 = 1.2{ i_o}^{$

à.e., ${i_o}^{$

$= - \ dfrac {{i_o}^{$

En utilisant le principe de superposition,

$i_o={i_o}^{'} -{i_o}^{$

$i = {i_o}^{'} + i^{$

Exemple 5 : Dans le circuit de la figure 13, trouver R si i = 0,1A (Utiliser le Théorème de superposition).

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 13

Solution:

Prenons d’abord l’alimentation + 10V,

$i_1 = \dfrac {10} {10+R}$

Ensuite, en prenant la source -10V uniquement, pour le courant i_2 dû à la source -10V, nous pouvons écrire

$i_2 = -\dfrac{10}{50+R}$

Selon le théorème de superposition,

$i = i_1 + i_2 = \dfrac{10}{10+R} - \dfrac{10}{50+R}$

$0.1 = 10$

$0.01 = \ dfrac {50 +R-10-R} {500+60R+R^2} = \dfrac{40} {500+60R+R^2}$

$5 + 0.6 L + 0,01L^2 = 40$

$0.01 R^2+ 0.6R -35 = 0$

$\ par conséquent, R = \dfrac { -0.6\pm\sqrt{0.36 + 1.4}}{0.02} = (-30 \ pm 66.33)\Omega$

La valeur réalisable de R est donc

$(-30 + 66.33)\ Omega = 36,33 \ Omega$

Exemple 6: Dans le circuit Π représenté sur la figure 14, trouvez le courant dans la résistance 2Ω.

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 14

Solution :

Ne prenant que la source 20A,9

${ I_ {2\Omega}} ^{'} = 20\dfrac{4}{2 + 6 +4} = 6.67 D.$

D’autre part, en prenant la source 10A uniquement

${ I_ {2\Omega}} ^{$

Ainsi, en utilisant le principe de Superposition,

$I_{2\Omega} = 6,67-5 = 1,67A.$

Exemple 7: Trouver vo dans le réseau de la figure 15 en utilisant le Théorème de superposition.

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 15

Solution :

Prenons la source 10V uniquement (figure 16).

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 16

Au noeud (1),

$\ dfrac {{v_o}^{'}}{2} + \ dfrac {{v_o}^{'} -\dfrac {{v_o}^{'}}{2}}{1} + \ dfrac {{v_o}^{'} - 10}{5} =$

ou, $0,5 {v_o}^{'} + {v_o}^{'} - 0,5 {v_o}^{'} + 0,2 {v_o}^{'} - 2 = 0$

ou, $1,2 {v_o}^{'} = 2$

ou, ${v_o}^{'} = 1.67V$

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 17

Ensuite, en prenant la source de courant uniquement (figure 17) au nœud (1),

$\ dfrac {{v_o}^{$

ou, $0,5 {v_o}^{$

ou, $1,2 {v_o}^{$

$\ par conséquent {v_o} ^{$

Ensuite, en prenant la source 4V uniquement, en référence à la figure 18,

$i \ fois \ dfrac{10}{7} + 4 + 1 \ temps i +\dfrac {{v_o}^{$ …(1)

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 18

Cependant,

${ v_o}^{$

et $i_{2\Omega} = i\dfrac{5}{5 + 2} = \ dfrac {5} {7}i$

$\ par conséquent {v_o} ^ {$ …(2)

En utilisant (2) dans (1),

$\dfrac{10i}{7} +4+ i + \dfrac{1}{2} (-\dfrac{10}{7}i) = 0$

$i +4+ \dfrac{1}{2} \ fois \dfrac{10}{7} i = 0$

ou, $\dfrac{24}{14} i =- 4\text {ou, } i = -2,33A$

Ainsi

${ v_o}^{$

En utilisant le principe de superposition,

$v_o = {v_o}^{'} + {v_o}^{$

$1.67 + (- 0.833) + 3.33 = 4.167 V.$

Exemple 8: Trouver la perte de puissance en résistance 5Ω par Théorème de superposition sur la figure 19.

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 19

Solution:

En supposant la source 10V en premier (figure 20), KVL donne

$-10 - v_1-4v_1 +5I_1 = 0$

ou, $5I_1 = 5v_1 + 10$ …(1)

Mais $v_1 = -1\ fois I_1$ …(2)

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 20

En utilisant (2) dans (1),

$10I_1 = 10$

$I_1 =\dfrac{10}{10} = 1$

Ensuite, en prenant la source de courant uniquement, en se référant à la figure 21, au nœud (1),

$2 = \ dfrac {v_1}{1} +\dfrac{v_1+4v_1}{5} = v_1+0.2v_1+0.8v_1$

$v_1 = 1 V.$

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 21

$\ par conséquent I_2 = \dfrac {v_1 + 4v_1} {5} = 1A$

Par conséquent, le courant traversant la résistance 5Ω est

$I = I_1 + I_2 = 2A$

⸫ La perte de puissance dans la résistance 5Ω est de (2) 2 × 5 = 20W.

Exemple 9: En utilisant le théorème de superposition, trouvez I1 et I2 dans le circuit illustré à la figure 22.

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 22

Solution:

Prendre la source 10V en premier (figure 23), analyse nodale aux rendements (x)

$\ dfrac {V_x-10} {2} +\dfrac{V_x}{10} +\dfrac{V_x}{2} = 0$

ou, $1.1V_x = 5\text { ou, } V_x = \dfrac {5} {1.1}= 4.545V$

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 23

$\ par conséquent {I_1}^{'} = -\dfrac {V_x-10}{2} = -\dfrac{4.545 - 10}{2} = 2.727 A$

${ I_2}^{'} = -\dfrac{V_x}{2} = -2.272A$

Suivant, en supposant seulement la source 5V, en référence à la figure 24,

$\ dfrac {V_x}{2} +\dfrac{V_x-5} {2} +\dfrac{V_x}{10} = 0$

ou, $1.1V_x = 2.5$

$\ par conséquent, V_x = 2,273V$

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 24

Cela donne

${ I_1}^{$

et ${I_2}^{$

En utilisant le principe de superposition,

$I_1 = {I_1}^{'} + {I_1}^{$

$I_2 = {I_2}^{'} + {I_2}^{$

Exemple 10: Trouver v en utilisant le principe de superposition de la figure 25.

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 25

Solution:

En prenant uniquement la source de tension et en se référant à la figure 26.

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 26

En boucle a-b-c-d,

$-4 + 3i_1 +2i_1+5 (i_1-i_2) = 0$

$10i_1-5i_2 = 4$ …(1)

En boucle b-c-x-y,

$5( i_2-i_1) + 1\ fois i_2 +2v_1 = 0$ …(2)

Mais $v_1 =-3i_1\text { dans la boucle a-b-c-d}$

Ainsi, (2) se réduit à,

$5( i_2-i_1) + i_2-6i_1 = 0$

$- 11i_1 +6i_2 = 0$ …(3)

De (3),

$i_2 =\dfrac{11}{6} i_1$ …(4)

En utilisant (4) dans (1),

$10i_1-\dfrac{55}{6} i_1 = 4$

ou, $\dfrac{5}{6} i_1= 4\text{i.e., }i_1 = \dfrac{24}{5}A$

$v_1 = -3i_1 = -\dfrac {72} {5} = -14.4V$

Exemple de théorème de superposition avec la figure de solution 27

En référence à la figure 27, l’analyse nodale au nœud “o ” révèle

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