Univerzitní fyzika svazek 1

v potenciální energii a zachování energie, jakýkoli přechod mezi kinetickou a potenciální energií zachoval celkovou energii systému. To byla cesta nezávislá, což znamená, že můžeme začít a zastavit v jakýchkoli dvou bodech problému a celková energie systému-kinetická plus potenciál-v těchto bodech jsou si navzájem rovny. To je charakteristické pro konzervativní sílu. V předchozí části jsme se zabývali konzervativními silami, jako je gravitační síla a síla pružiny. Při porovnání pohybu fotbalu v (Obrázek) se celková energie systému nikdy nezmění, i když gravitační potenciální energie fotbalu se zvyšuje, protože míč stoupá vzhledem k zemi a klesá zpět k počáteční gravitační potenciální energii, když fotbalista chytí míč. Nekonzervativní síly jsou disipativní síly, jako je tření nebo odpor vzduchu. Tyto síly odebírají energii ze systému, jak systém postupuje, energii, kterou nemůžete získat zpět. Tyto síly jsou závislé na cestě; proto záleží na tom, kde objekt začíná a končí.

(obrázek) a (obrázek) jsou ekvivalentní, protože každá uzavřená cesta je součtem dvou cest: první jde Z A do B, a druhý jde z B do a. práce provedená podél cesty z B do A je negativní práce provedené podél stejné cesty z A do B, kde A A B jsou jakékoli dva body na uzavřené cestě:

můžete se zeptat, jak jdeme o prokazování, zda síla je konzervativní, protože definice zahrnují všechny cesty od A do B, nebo všechny uzavřené cesty, ale udělat integrál pro práci, musíte si vybrat konkrétní cestu. Jednou z odpovědí je, že vykonaná práce je nezávislá na cestě, pokud nekonečně malá práce

je přesný diferenciál, způsob, jakým byla nekonečně malá čistá práce rovna přesnému diferenciálu kinetické energie,

když jsme odvodili větu práce-energie v teorému práce-energie. Existují matematické podmínky, které můžete použít k testování, zda nekonečně malá práce prováděná silou je přesný diferenciál a síla je konzervativní. Tyto podmínky zahrnují pouze diferenciaci, a proto jsou relativně snadno použitelné. Ve dvou rozměrech je podmínka pro

být přesný rozdíl je

možná si vzpomenete, že práce vykonaná silou v (Obrázek) závisela na cestě. Pro tuto sílu,

proto,

což naznačuje, že jde o nekonzervativní sílu. Vidíte, co byste mohli změnit, aby se z ní stala konzervativní síla?

než opustíme tuto sekci, poznamenáváme, že nekonzervativní síly nemají s nimi spojenou potenciální energii, protože energie je ztracena v systému a nemůže být později přeměněna na užitečnou práci. Takže vždy existuje konzervativní síla spojená s každou potenciální energií. Viděli jsme, že potenciální energie je definována ve vztahu k práci konzervativních sil. Tento vztah (obrázek) zahrnoval integrál pro práci; počínaje silou a posunem, integrovali jste se, abyste získali práci a změnu potenciální energie. Integrace je však inverzní operací diferenciace; mohli byste stejně dobře začít s potenciální energií a vzít její derivaci s ohledem na posunutí, abyste získali sílu. Infinitezimální přírůstek potenciální energie je bodový součin síly a infinitezimální posunutí,

zde jsme se rozhodli reprezentovat posun v libovolném směru

aby nebyla omezena na konkrétní směr souřadnic. Také jsme vyjádřili bodový produkt z hlediska velikosti nekonečně malého posunu a složky síly v jeho směru. Obě tyto veličiny jsou skaláry, takže můžete vydělit dl, abyste získali

tato rovnice udává vztah mezi silou a potenciální energií s ní spojenou. Slovy, složka konzervativní síly v určitém směru se rovná negativu derivátu odpovídající potenciální energie s ohledem na posun v tomto směru. Pro jednorozměrný pohyb, řekněme podél osy x, (obrázek) dejte celou vektorovou sílu,

ve dvou rozměrech,

z této rovnice můžete vidět, proč (obrázek) je podmínkou pro to, aby práce byla přesným diferenciálem, pokud jde o derivace složek síly. Obecně se používá parciální derivační notace. Pokud má funkce v sobě mnoho proměnných, derivace se bere pouze z proměnné, kterou parciální derivace určuje. Ostatní proměnné jsou konstantní. Ve třech rozměrech přidáte další výraz pro z-složku a výsledkem je, že síla je záporná gradientu potenciální energie. Na trojrozměrné příklady se však zatím nebudeme dívat.