Fizyka Uniwersytecka Tom 1 1

w energii potencjalnej i zachowaniu energii, każde przejście między energią kinetyczną i potencjalną oszczędzało całkowitą energię układu. To było niezależne od ścieżki, co oznacza, że możemy zaczynać i zatrzymywać się w dowolnych dwóch punktach problemu, a całkowita energia układu-kinetyczna Plus potencjał-w tych punktach są sobie równe. Jest to charakterystyczne dla siły Konserwatywnej. W poprzednim odcinku mieliśmy do czynienia z konserwatywnymi siłami, takimi jak siła grawitacji i siła sprężyny. Porównując ruch piłki nożnej w (rysunek), całkowita energia układu nigdy się nie zmienia, nawet jeśli grawitacyjna energia potencjalna piłki nożnej wzrasta, gdy piłka unosi się względem ziemi i spada z powrotem do początkowej grawitacyjnej energii potencjalnej, gdy piłkarz łapie piłkę. Siły niekonwencjonalne to siły rozpraszające, takie jak tarcie lub opór powietrza. Siły te zabierają energię z systemu w miarę postępu systemu, energię, której nie można odzyskać. Siły te są zależne od ścieżki, dlatego ważne jest, gdzie obiekt zaczyna się i zatrzymuje.

(Figure) I (Figure) są równoważne, ponieważ każda zamknięta ścieżka jest sumą dwóch ścieżek: pierwsza idzie z A do B, a druga z B Do A. praca wykonana idąc wzdłuż ścieżki z B do A jest negatywem pracy wykonanej idącej wzdłuż tej samej ścieżki z A do B, gdzie A i B są dowolnymi dwoma punktami na zamkniętej ścieżce:

możecie zapytać, w jaki sposób udowadniamy, czy siła jest konserwatywna, ponieważ definicje obejmują wszystkie ścieżki od A do B, lub wszystkie zamknięte ścieżki, ale aby wykonać całkę dla pracy, musisz wybrać konkretną ścieżkę. Jedną z odpowiedzi jest to, że wykonywana praca jest niezależna od ścieżki, jeśli nieskończenie

jest dokładną różnicą, sposób, w jaki infinitezymalna praca sieci była równa dokładnej różnicy energii kinetycznej,

kiedy wyprowadziliśmy twierdzenie praca-energia w twierdzeniu praca-Energia. Istnieją warunki matematyczne, których można użyć do sprawdzenia, czy nieskończenie mała praca wykonywana przez siłę jest dokładną różnicą, a siła jest zachowawcza. Warunki te wiążą się tylko z różnicowaniem, a zatem są stosunkowo łatwe do zastosowania. W dwóch wymiarach, warunek dla

być dokładną różnicą jest

możesz sobie przypomnieć, że praca wykonana przez siłę w (rysunek) zależała od ścieżki. Dla tej siły,

dlatego,

co wskazuje, że jest to siła niekonserwatywna. Widzisz, co możesz zmienić, by stać się konserwatywną siłą?

przed opuszczeniem tej sekcji zauważamy, że siły niekonserwatywne nie mają energii potencjalnej z nimi związanej, ponieważ energia jest tracona do systemu i nie może być później przekształcona w użyteczną pracę. Tak więc zawsze istnieje konserwatywna Siła związana z każdą energią potencjalną. Widzieliśmy, że energia potencjalna jest definiowana w odniesieniu do pracy wykonywanej przez siły konserwatywne. Ta relacja (rysunek) obejmowała całkę dla pracy; zaczynając od siły i przesunięcia, integrujesz się, aby uzyskać pracę i zmianę energii potencjalnej. Jednak integracja jest odwrotną operacją różnicowania; równie dobrze można było zacząć od energii potencjalnej i wziąć jej pochodną, w odniesieniu do przesunięcia, aby uzyskać siłę. Infinitezymalny przyrost energii potencjalnej jest iloczynem punktowym siły i infinitezymalnego przemieszczenia,

tutaj zdecydowaliśmy się reprezentować przemieszczenie w dowolnym kierunku przez

aby nie ograniczać się do żadnego konkretnego kierunku współrzędnych. Wyraziliśmy również iloczyn punktowy w kategoriach wielkości infinitezymalnego przemieszczenia i składowej siły w jego kierunku. Obie te wielkości są skalarami, więc można podzielić przez dl, aby uzyskać

równanie to daje zależność pomiędzy siłą a związaną z nią energią potencjalną. Innymi słowy, składowa siły zachowawczej, w określonym kierunku, jest równa ujemnej pochodnej odpowiadającej jej energii potencjalnej, w odniesieniu do przesunięcia w tym kierunku. Dla ruchu jednowymiarowego, powiedzmy wzdłuż osi x, (rysunek) dać całą siłę wektora,

w dwóch wymiarach,

z tego równania można zobaczyć, dlaczego (rysunek) jest warunkiem, aby praca była dokładną różnicą, pod względem pochodnych składowych siły. Na ogół stosuje się notację pochodną cząstkową. Jeśli funkcja ma w sobie wiele zmiennych, pochodna jest pobierana tylko ze zmiennej, którą określa pochodna cząstkowa. Pozostałe zmienne są stałe. W trzech wymiarach dodajemy kolejne określenie składowej z, w wyniku czego siła jest ujemna gradientu energii potencjalnej. Nie będziemy jednak jeszcze patrzeć na trójwymiarowe przykłady.