Universitetsfysik Volumen 1

i potentiel energi og bevarelse af energi bevarede enhver overgang mellem kinetisk og potentiel energi systemets samlede energi. Dette var sti uafhængig, hvilket betyder, at vi kan starte og stoppe på to punkter i problemet, og den samlede energi af systemet—kinetic plus potentiale—på disse punkter er lig med hinanden. Dette er karakteristisk for en konservativ kraft. Vi behandlede konservative kræfter i det foregående afsnit, såsom tyngdekraften og fjederkraften. Når man sammenligner fodboldens bevægelse i (figur), ændres systemets samlede energi aldrig, selvom fodboldens tyngdepotentielle energi øges, da bolden stiger i forhold til jorden og falder tilbage til den oprindelige tyngdepotentielle energi, når fodboldspilleren fanger bolden. Ikke-konservative kræfter er dissipative kræfter såsom friktion eller luftmodstand. Disse kræfter tager energi væk fra systemet, når systemet skrider frem, energi, som du ikke kan få tilbage. Disse kræfter er stiafhængige; derfor betyder det noget, hvor objektet starter og stopper.

(figur) og (figur) er ækvivalente, fordi enhver lukket sti er summen af to stier: den første går fra A til B, og den anden går fra B til A. arbejdet, der udføres ad en sti fra B til A, er det negative ved det udførte arbejde, der går langs den samme sti fra A til B, hvor A og B er to punkter på den lukkede sti:

du kan spørge, hvordan vi går om at bevise, om en kraft er konservativ eller ej, da definitionerne involverer alle stier fra A til B eller alle lukkede stier, men for at gøre integralet til arbejdet skal du vælge en bestemt sti. Et svar er, at det udførte arbejde er uafhængigt af stien, hvis det uendelige arbejde

er en nøjagtig forskel, den måde, hvorpå det uendelige netarbejde var lig med den nøjagtige forskel på den kinetiske energi,

da vi afledte arbejdsenergisætningen i Arbejdsenergisætningen. Der er matematiske forhold, som du kan bruge til at teste, om det uendelige arbejde, der udføres af en kraft, er en nøjagtig forskel, og kraften er konservativ. Disse betingelser involverer kun differentiering og er således relativt lette at anvende. I to dimensioner er betingelsen for

at være en nøjagtig forskel er

du kan huske, at arbejdet udført af kraften i (figur) afhang af stien. For den kraft,

derfor,

hvilket indikerer, at det er en ikke-konservativ styrke. Kan du se, hvad du kan ændre for at gøre det til en konservativ styrke?

før vi forlader dette afsnit, bemærker vi, at ikke-konservative kræfter ikke har potentiel energi forbundet med dem, fordi energien går tabt i systemet og ikke kan omdannes til nyttigt arbejde senere. Så der er altid en konservativ kraft forbundet med enhver potentiel energi. Vi har set, at potentiel energi defineres i forhold til det arbejde, der udføres af konservative kræfter. Denne relation (figur) involverede en integreret del af arbejdet; startende med kraften og forskydningen integrerede du for at få arbejdet og ændringen i potentiel energi. Imidlertid er integration den omvendte funktion af differentiering; du kunne lige så godt have startet med den potentielle energi og taget dens derivat med hensyn til forskydning for at få kraften. Den uendelige stigning i potentiel energi er kraftens prikprodukt og den uendelige forskydning,

her valgte vi at repræsentere forskydningen i en vilkårlig retning ved

for ikke at være begrænset til nogen bestemt koordinatretning. Vi udtrykte også dot-produktet med hensyn til størrelsen af den uendelige forskydning og komponenten af kraften i dens retning. Begge disse mængder er skalarer, så du kan dividere med dl for at få

denne ligning giver forholdet mellem kraft og den potentielle energi, der er forbundet med den. I ord er komponenten af en konservativ kraft i en bestemt retning lig med det negative af derivatet af den tilsvarende potentielle energi med hensyn til en forskydning i den retning. For endimensionel bevægelse, sig langs h-aksen, (figur) giv hele vektorkraften,

i to dimensioner,

fra denne ligning kan du se, hvorfor (figur) er betingelsen for, at arbejdet skal være en nøjagtig forskel, hvad angår derivaterne af kraftens komponenter. Generelt anvendes en delvis afledt notation. Hvis en funktion har mange variabler i sig, tages derivatet kun af variablen, som det delvise derivat angiver. De andre variabler holdes konstant. I tre dimensioner tilføjer du et andet udtryk for å-komponenten, og resultatet er, at kraften er den negative af gradienten af den potentielle energi. Vi vil dog ikke se på tredimensionelle eksempler endnu.