Articles / August 29, 2021

Universitätsphysik Band 1

8 Potenzielle Energie und Energieeinsparung

Lernziele

Am Ende dieses Abschnitts können Sie:

Charakterisieren Sie eine konservative Kraft auf verschiedene Arten
Geben Sie mathematische Bedingungen an, die von einer konservativen Kraft und ihren Komponenten erfüllt sein müssen
Beziehen Sie die konservative Kraft zwischen Teilchen eines Systems auf die potentielle Energie des Systems
Berechnen Sie die Komponenten einer konservativen Kraft

Bei der potentiellen Energie und Energieeinsparung konservierte jeder Übergang zwischen kinetischer und potentieller Energie die Gesamtenergie des Systems. Dies war pfadunabhängig, was bedeutet, dass wir an zwei beliebigen Punkten des Problems starten und stoppen können und die Gesamtenergie des Systems — Kinetik plus Potential — an diesen Punkten gleich ist. Dies ist charakteristisch für eine konservative Kraft. Wir haben uns im vorhergehenden Abschnitt mit konservativen Kräften wie der Schwerkraft und der Federkraft befasst. Beim Vergleich der Bewegung des Fußballs in (Abbildung) ändert sich die Gesamtenergie des Systems nie, obwohl die potentielle Gravitationsenergie des Fußballs zunimmt, wenn der Ball relativ zum Boden ansteigt und auf die anfängliche potentielle Gravitationsenergie zurückfällt, wenn der Fußballspieler den Ball fängt. Nichtkonservative Kräfte sind dissipative Kräfte wie Reibung oder Luftwiderstand. Diese Kräfte nehmen dem System Energie weg, während das System fortschreitet, Energie, die Sie nicht zurückbekommen können. Diese Kräfte sind pfadabhängig; Daher kommt es darauf an, wo das Objekt beginnt und stoppt.

Konservative Kraft

Die Arbeit einer konservativen Kraft ist unabhängig vom Pfad; mit anderen Worten, die Arbeit einer konservativen Kraft ist für jeden Pfad, der zwei Punkte verbindet, gleich:

Die Arbeit einer nicht konservativen Kraft hängt vom eingeschlagenen Weg ab.

Äquivalent ist eine Kraft konservativ, wenn die Arbeit, die sie um einen geschlossenen Pfad ausführt, Null ist:

( Abbildung) und (Abbildung) sind äquivalent, da jeder geschlossene Pfad die Summe zweier Pfade ist: die erste geht von A nach B und die zweite von B nach A. Die geleistete Arbeit auf einem Pfad von B nach A ist das Negativ der geleisteten Arbeit auf demselben Pfad von A nach B, wobei A und B zwei beliebige Punkte auf dem geschlossenen Pfad sind:

Sie könnten fragen, wie wir beweisen, ob eine Kraft konservativ ist oder nicht, da die Definitionen alle Pfade von A nach B oder alle geschlossenen Pfade beinhalten, aber um das Integral für die Arbeit zu tun, müssen Sie einen bestimmten Pfad wählen. Eine Antwort ist, dass die geleistete Arbeit unabhängig vom Pfad ist, wenn die infinitesimale Arbeit

ist ein exaktes Differential, die Art und Weise, wie das infinitesimale Netz gleich dem exakten Differential der kinetischen Energie war,

wenn wir den Arbeitsenergiesatz im Arbeitsenergiesatz abgeleitet haben. Es gibt mathematische Bedingungen, mit denen Sie testen können, ob die infinitesimale Arbeit einer Kraft ein genaues Differential ist und die Kraft konservativ ist. Diese Bedingungen beinhalten nur eine Differenzierung und sind daher relativ einfach anzuwenden. In zwei Dimensionen, die Bedingung für

um ein genaues Differential zu sein, ist

Sie erinnern sich vielleicht, dass die Arbeit der Kraft in (Abbildung) vom Pfad abhing. Für diese Kraft,

Daher,

was darauf hindeutet, dass es sich um eine nicht konservative Kraft handelt. Können Sie sehen, was Sie ändern könnten, um es zu einer konservativen Kraft zu machen?

Ein Foto von einer Schleifscheibe verwendet wird. — Abbildung 8.5 Eine Schleifscheibe übt eine nicht konservative Kraft aus, da die geleistete Arbeit davon abhängt, wie viele Umdrehungen die Scheibe ausführt, also wegabhängig ist.

Beispiel

Konservativ oder nicht?

Welche der folgenden zweidimensionalen Kräfte sind konservativ und welche nicht? Angenommen, a und b sind Konstanten mit entsprechenden Einheiten:

(a)

( b)

$\,\]$

( c)

Strategie

Wenden Sie die in (Abbildung) angegebene Bedingung an, nämlich unter Verwendung der Ableitungen der Komponenten jeder angegebenen Kraft. Wenn die Ableitung der y-Komponente der Kraft in Bezug auf x gleich der Ableitung der x-Komponente der Kraft in Bezug auf y ist, ist die Kraft eine konservative Kraft, was bedeutet, dass der Weg, der für potentielle Energie- oder Arbeitsberechnungen genommen wird, immer die gleichen Ergebnisse liefert.

Lösung

und

, diese Kraft ist also nicht konservativ.
und

diese Kraft ist also konservativ.
wieder konservativ.

Signifikanz

Die Bedingungen in (Abbildung) sind Ableitungen als Funktionen einer einzelnen Variablen; In drei Dimensionen existieren ähnliche Bedingungen, die mehr Ableitungen beinhalten.

Überprüfen Sie Ihr Verständnis

Eine zweidimensionale, konservative Kraft ist auf der x– und y-Achse Null und erfüllt die Bedingung

. Was ist die Größe der Kraft an dem Punkt

Lösung anzeigen

2,83 N

Bevor wir diesen Abschnitt verlassen, stellen wir fest, dass nichtkonservativen Kräften keine potentielle Energie zugeordnet ist, da die Energie für das System verloren geht und später nicht in nützliche Arbeit umgewandelt werden kann. Mit jeder potentiellen Energie ist also immer eine konservative Kraft verbunden. Wir haben gesehen, dass potentielle Energie in Bezug auf die Arbeit konservativer Kräfte definiert wird. Diese Beziehung (Abbildung) beinhaltete ein Integral für die Arbeit; Beginnend mit der Kraft und der Verschiebung müssen Sie die Arbeit und die Änderung der potentiellen Energie erhalten. Integration ist jedoch die umgekehrte Operation der Differenzierung; Sie hätten genauso gut mit der potentiellen Energie beginnen und ihre Ableitung in Bezug auf die Verschiebung nehmen können, um die Kraft zu erhalten. Das infinitesimale Inkrement der potentiellen Energie ist das Punktprodukt der Kraft und der infinitesimalen Verschiebung,

Hier haben wir uns entschieden, die Verschiebung in eine beliebige Richtung darzustellen, indem wir

um nicht auf eine bestimmte Koordinatenrichtung beschränkt zu sein. Wir haben das Punktprodukt auch in Bezug auf die Größe der infinitesimalen Verschiebung und die Komponente der Kraft in ihrer Richtung ausgedrückt. Beide Größen sind Skalare, so dass Sie durch dl dividieren können, um zu erhalten

Diese Gleichung gibt die Beziehung zwischen Kraft und der damit verbundenen potentiellen Energie an. Mit anderen Worten, die Komponente einer konservativen Kraft in einer bestimmten Richtung ist gleich dem Negativ der Ableitung der entsprechenden potentiellen Energie in Bezug auf eine Verschiebung in dieser Richtung. Für eine eindimensionale Bewegung, sagen wir entlang der x-Achse, (Abbildung) geben Sie die gesamte Vektorkraft an,

In zwei Dimensionen,

Aus dieser Gleichung können Sie sehen, warum (Abbildung) die Bedingung für die Arbeit ist, ein genaues Differential zu sein, in Bezug auf die Ableitungen der Komponenten der Kraft. Im Allgemeinen wird eine partielle Ableitungsnotation verwendet. Wenn eine Funktion viele Variablen enthält, wird die Ableitung nur von der Variablen genommen, die die partielle Ableitung angibt. Die anderen Variablen werden konstant gehalten. In drei Dimensionen fügen Sie einen weiteren Begriff für die Z-Komponente hinzu, und das Ergebnis ist, dass die Kraft das Negative des Gradienten der potentiellen Energie ist. Wir werden uns jedoch noch keine dreidimensionalen Beispiele ansehen.