Volume de Physique Universitaire 1

Dans l’énergie potentielle et la conservation de l’énergie, toute transition entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle conservait l’énergie totale du système. C’était indépendant du chemin, ce qui signifie que nous pouvons commencer et nous arrêter à deux points quelconques du problème, et l’énergie totale du système — cinétique plus potentiel — à ces points sont égales l’une à l’autre. Ceci est caractéristique d’une force conservatrice. Nous avons traité des forces conservatrices dans la section précédente, telles que la force gravitationnelle et la force du ressort. En comparant le mouvement du football dans (Figure), l’énergie totale du système ne change jamais, même si l’énergie potentielle gravitationnelle du football augmente, car la balle monte par rapport au sol et retombe à l’énergie potentielle gravitationnelle initiale lorsque le joueur de football attrape la balle. Les forces non conservatrices sont des forces dissipatives telles que le frottement ou la résistance à l’air. Ces forces enlèvent de l’énergie au système à mesure que le système progresse, énergie que vous ne pouvez pas récupérer. Ces forces dépendent du chemin; il importe donc où l’objet commence et s’arrête.

( Figure) et (Figure) sont équivalentes car tout chemin fermé est la somme de deux chemins: le premier va de A à B, et le second va de B à A. Le travail effectué suivant un chemin de B à A est le négatif du travail effectué suivant le même chemin de A à B, où A et B sont deux points quelconques sur le chemin fermé:

Vous pourriez vous demander comment nous allons prouver si une force est conservatrice ou non, puisque les définitions impliquent tous les chemins de A à B, ou tous les chemins fermés, mais pour faire l’intégrale pour le travail, vous devez choisir un chemin particulier. Une réponse est que le travail effectué est indépendant du chemin si le travail infinitésimal

est un différentiel exact, la façon dont le travail net infinitésimal était égal au différentiel exact de l’énergie cinétique,

lorsque nous avons dérivé le théorème de l’énergie de travail dans le Théorème de l’énergie de travail. Il existe des conditions mathématiques que vous pouvez utiliser pour tester si le travail infinitésimal effectué par une force est un différentiel exact, et la force est conservatrice. Ces conditions n’impliquent qu’une différenciation et sont donc relativement faciles à appliquer. En deux dimensions, la condition pour

pour être un différentiel exact est

Vous vous souvenez peut-être que le travail effectué par la force dans (Figure) dépendait du chemin. Pour cette force,

Par conséquent,

ce qui indique qu’il s’agit d’une force non conservatrice. Pouvez-vous voir ce que vous pourriez changer pour en faire une force conservatrice?

Avant de quitter cette section, nous notons que les forces non conservatrices n’ont pas d’énergie potentielle qui leur est associée car l’énergie est perdue pour le système et ne peut pas être transformée en travail utile plus tard. Il y a donc toujours une force conservatrice associée à chaque énergie potentielle. Nous avons vu que l’énergie potentielle est définie par rapport au travail effectué par les forces conservatrices. Cette relation, (Figure), impliquait une intégrale pour le travail; en commençant par la force et le déplacement, vous avez intégré pour obtenir le travail et le changement d’énergie potentielle. Cependant, l’intégration est l’opération inverse de la différenciation; vous auriez tout aussi bien pu commencer avec l’énergie potentielle et prendre sa dérivée, par rapport au déplacement, pour obtenir la force. L’incrément infinitésimal d’énergie potentielle est le produit scalaire de la force et du déplacement infinitésimal,

Ici, nous avons choisi de représenter le déplacement dans une direction arbitraire par

afin de ne pas être limité à une direction de coordonnées particulière. Nous avons également exprimé le produit scalaire en termes d’amplitude du déplacement infinitésimal et de la composante de la force dans sa direction. Ces deux quantités sont des scalaires, vous pouvez donc diviser par dl pour obtenir

Cette équation donne la relation entre la force et l’énergie potentielle qui lui est associée. En termes, la composante d’une force conservatrice, dans une direction particulière, est égale au négatif de la dérivée de l’énergie potentielle correspondante, par rapport à un déplacement dans cette direction. Pour un mouvement unidimensionnel, disons le long de l’axe des abscisses, (Figure) donne la force vectorielle entière,

En deux dimensions,

À partir de cette équation, vous pouvez voir pourquoi (Figure) est la condition pour que le travail soit un différentiel exact, en termes de dérivées des composantes de la force. En général, une notation dérivée partielle est utilisée. Si une fonction contient de nombreuses variables, la dérivée n’est prise que de la variable spécifiée par la dérivée partielle. Les autres variables sont maintenues constantes. En trois dimensions, vous ajoutez un autre terme pour la composante z, et le résultat est que la force est le négatif du gradient de l’énergie potentielle. Cependant, nous ne regarderons pas encore d’exemples en trois dimensions.