egyetemi fizika kötet 1

a potenciális energiában és az Energiamegmaradásban a kinetikus és a potenciális energia közötti átmenet megőrizte a rendszer teljes energiáját. Ez útfüggetlen volt, ami azt jelenti, hogy a probléma bármely két pontján elindulhatunk és megállhatunk, és a rendszer teljes energiája—kinetikus plusz potenciál—ezeken a pontokon egyenlő egymással. Ez egy konzervatív erőre jellemző. Az előző részben a konzervatív erőkkel foglalkoztunk, mint például a gravitációs erő és a rugóerő. A futball mozgásának (ábra) összehasonlításakor a rendszer teljes energiája soha nem változik, annak ellenére, hogy a futball gravitációs potenciális energiája növekszik, amikor a labda a talajhoz képest emelkedik, és visszaesik a kezdeti gravitációs potenciális energiához, amikor a futballista elkapja a labdát. A nem konzervatív erők disszipatív erők, például súrlódás vagy légellenállás. Ezek az erők elveszik az energiát a rendszertől, ahogy a rendszer fejlődik, olyan energiát, amelyet nem tudsz visszaszerezni. Ezek az erők útfüggőek, ezért fontos, hogy az objektum hol kezdődik és hol áll meg.

(Ábra) és (ábra) ekvivalensek, mert bármely zárt út két út összege: az első A-ból B-be, a második pedig B-ből A. A B-ből A-ba vezető út mentén végzett munka negatívja annak a munkának, amely ugyanazon az úton halad A-tól B-ig, ahol A és B a zárt út bármely két pontja:

megkérdezheti, hogyan bizonyítjuk, hogy egy erő konzervatív-e vagy sem, mivel a definíciók magukban foglalják az A-tól B-ig terjedő összes utat, vagy az összes zárt utat, de a munka integráljának elvégzéséhez egy adott utat kell választania. Az egyik válasz az, hogy az elvégzett munka független az úttól, ha a végtelenül kis munka

pontos különbség, ahogyan a végtelenül kis nettó munka megegyezett a kinetikus energia pontos különbségével,

amikor levezetjük a munka-energia tételt a munka-energia tételben. Vannak matematikai feltételek, amelyek segítségével tesztelheti, hogy az erő által végzett végtelen kis munka pontos differenciál-e, és az erő konzervatív. Ezek a feltételek csak differenciálást jelentenek, ezért viszonylag könnyen alkalmazhatók. Két dimenzióban a feltétel

ahhoz, hogy pontos különbség legyen, az

emlékeztethet arra, hogy az erő (ábra) által végzett munka az úttól függött. Erre az erőre,

ezért,

ami azt jelzi, hogy nem konzervatív erő. Látod, mit lehetne változtatni, hogy ez egy konzervatív erő?

mielőtt elhagynánk ezt a részt, megjegyezzük, hogy a nem konzervatív erőknek nincs potenciális energiájuk, mert az energia elveszik a rendszer számára, és később nem alakítható hasznos munkává. Tehát mindig van egy konzervatív erő, amely minden potenciális energiához kapcsolódik. Láttuk, hogy a potenciális energiát a konzervatív erők által végzett munkához viszonyítva határozzák meg. Ez a kapcsolat (ábra) magában foglalta a munka integrálját; kezdve az erővel és az elmozdulással, integrálódtál, hogy megkapd a munkát és a potenciális energia változását. Az integráció azonban a differenciálódás fordított művelete; ugyanúgy jól kezdhettük volna a potenciális energiával, és a származékát, az elmozdulás tekintetében, megkaphattuk volna az erőt. A potenciális energia végtelen kis növekedése az erő pontterméke és a végtelen kis elmozdulás,

itt, úgy döntöttünk, hogy az elmozdulást tetszőleges irányban ábrázoljuk

annak érdekében, hogy ne korlátozódjon egy adott koordináta-irányra. A dot szorzatot a végtelen kis elmozdulás nagyságával és az erő irányának összetevőjével is kifejeztük. Mindkét mennyiség skalár, így eloszthatja dl-vel, hogy megkapja

ez az egyenlet adja meg az erő és a hozzá kapcsolódó potenciális energia közötti kapcsolatot. Szavakkal, a konzervatív erő komponense egy adott irányban megegyezik a megfelelő potenciális energia deriváltjának negatívjával, az ebbe az irányba történő elmozdulás tekintetében. Egydimenziós mozgáshoz mondjuk az x tengely mentén (ábra) adja meg a teljes vektorerőt,

két dimenzióban,

ebből az egyenletből láthatja, hogy miért (ábra) az a feltétel, hogy a munka pontos különbség legyen, az erő összetevőinek származékai szempontjából. Általában részleges származékos jelölést használnak. Ha egy függvényben sok változó van, akkor a derivált csak a parciális derivált által meghatározott változóból származik. A többi változó állandó. Három dimenzióban hozzáadunk egy másik kifejezést A z-komponenshez, és az eredmény az, hogy az erő a potenciális energia gradiensének negatívja. A háromdimenziós példákat azonban még nem fogjuk megvizsgálni.