Volume di fisica universitaria 1

In Energia Potenziale e Conservazione dell’Energia, transizione tra cinetica e di energia potenziale conservata l’energia totale del sistema. Questo è stato percorso indipendente, il che significa che possiamo iniziare e fermarsi in qualsiasi due punti del problema, e l’energia totale del sistema—cinetica più potenziale—in questi punti sono uguali tra loro. Questo è caratteristico di una forza conservatrice. Abbiamo affrontato le forze conservative nella sezione precedente, come la forza gravitazionale e la forza della molla. Quando si confronta il movimento del calcio in (Figura), l’energia totale del sistema non cambia mai, anche se l’energia potenziale gravitazionale del calcio aumenta, poiché la palla sale rispetto al suolo e ricade all’energia potenziale gravitazionale iniziale quando il giocatore di calcio cattura la palla. Le forze non conservative sono forze dissipative come l’attrito o la resistenza dell’aria. Queste forze portano via energia dal sistema mentre il sistema progredisce, energia che non puoi recuperare. Queste forze dipendono dal percorso; quindi è importante dove l’oggetto inizia e si ferma.

(Figura) e (Figura) sono equivalenti perché ogni percorso chiuso è la somma di due percorsi: prima di andare da a a B, e la seconda che va da B ad A. Il lavoro svolto percorrendo un sentiero da B ad a è il negativo del lavoro svolto percorrendo lo stesso percorso da a a B, dove A e B sono due punti qualsiasi del tracciato chiuso:

Si potrebbe chiedere come possiamo dimostrare se o non una forza è conservativa, dal momento che le definizioni di coinvolgere qualsiasi e tutti i percorsi da a a B, o qualsiasi e tutti i tracciati chiusi, ma per fare l’integrale per il lavoro, è necessario scegliere un determinato percorso. Una risposta è che il lavoro fatto è indipendente dal percorso, se infinitesimale di lavoro

è un differenziale esatto, il modo infinitesimale lavoro netto è stato pari al differenziale esatta dell’energia cinetica,

quando abbiamo derivato il lavoro-energia teorema Lavoro-Energia Teorema. Esistono condizioni matematiche che è possibile utilizzare per verificare se il lavoro infinitesimale svolto da una forza è un differenziale esatto e la forza è conservativa. Queste condizioni comportano solo differenziazione e sono quindi relativamente facili da applicare. In due dimensioni, la condizione per

per essere un differenziale esatto è

Si può ricordare che il lavoro svolto dalla forza in (Figura) dipendeva dal percorso. Per quella forza,

Pertanto,

il che indica che è una forza non conservatrice. Riesci a vedere cosa potresti cambiare per renderlo una forza conservatrice?

Prima di lasciare questa sezione, si nota che i non-forze conservative non hanno energia potenziale associata con loro, perché l’energia viene persa dal sistema e non può essere trasformata in lavoro utile in seguito. Quindi c’è sempre una forza conservativa associata ad ogni energia potenziale. Abbiamo visto che l’energia potenziale è definita in relazione al lavoro svolto dalle forze conservatrici. Quella relazione, (Figura), implicava un integrale per il lavoro; partendo dalla forza e dallo spostamento, si integrava per ottenere il lavoro e il cambiamento di energia potenziale. Tuttavia, l’integrazione è l’operazione inversa della differenziazione; si potrebbe ugualmente iniziare con l’energia potenziale e prendere la sua derivata, rispetto allo spostamento, per ottenere la forza. L’incremento infinitesimale dell’energia potenziale è il prodotto dot della forza e dello spostamento infinitesimale,

Qui, abbiamo scelto di rappresentare lo spostamento in una direzione arbitraria di

in modo da non essere limitato a una particolare direzione coordinata. Abbiamo anche espresso il prodotto dot in termini di grandezza dello spostamento infinitesimale e della componente della forza nella sua direzione. Entrambe queste quantità sono scalari, quindi puoi dividere per dl per ottenere

Questa equazione fornisce la relazione tra la forza e l’energia potenziale ad essa associata. In parole, la componente di una forza conservativa, in una particolare direzione, è uguale al negativo della derivata dell’energia potenziale corrispondente, rispetto a uno spostamento in quella direzione. Per uno-dimensionale di movimento, dire lungo l’asse x (Figura) dare l’intero vettore di forza,

In due dimensioni,

Da questa equazione si può vedere perché (Figura) è la condizione per il lavoro per essere un differenziale esatta, in termini di derivate delle componenti della forza. In generale, viene utilizzata una notazione derivata parziale. Se una funzione ha molte variabili in essa, la derivata viene presa solo dalla variabile specificata dalla derivata parziale. Le altre variabili sono mantenute costanti. In tre dimensioni, si aggiunge un altro termine per il componente z e il risultato è che la forza è il negativo del gradiente dell’energia potenziale. Tuttavia, non vedremo ancora esempi tridimensionali.