大学物理学第1巻1

ポテンシャルエネルギーとエネルギーの保存において，運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの間の任意の遷移は系の全エネルギーを保存した。 これは経路に依存せず、問題の任意の2つの点で開始および停止することができ、これらの点でのシステムの総エネルギー—運動性とポテンシャル—は互いに等しいことを意味します。 これは保守的な力の特徴です。 前節では，重力やばね力などの保守的な力を扱った。 (図)でサッカーの動きを比較すると、サッカーの重力ポテンシャルエネルギーが増加しても、ボールが地面に対して上昇し、サッカー選手がボールをキャッチしたときに最初の重力ポテンシャルエネルギーに戻るため、システムの総エネルギーは変化しません。 非保守的な力は、摩擦や空気抵抗などの散逸力です。 これらの力は、システムが進行するにつれてシステムからエネルギーを奪い、あなたが取り戻すことができないエネルギーを奪います。 これらの力はパスに依存するため、オブジェクトの開始位置と停止位置が重要です。

(figure)と(Figure)は、任意の閉じたパスが2つのパスの合計であるため、同等です: BからAへのパスに沿って行われた作業は、AからBへの同じパスに沿って行われた作業の負であり、AとBは閉じたパス上の任意の二つの点です:

定義にはAからBへのすべてのパス、またはすべての閉じたパスが含まれているため、力が保守的であるかどうかを証明する方法を尋ねるかもし 一つの答えは、行われた作業は、無限小の作業の場合、パスとは独立しているということです

は正確な微分であり、無限小の正味の仕事が運動エネルギーの正確な微分に等しい方法です,

仕事-エネルギー定理で仕事-エネルギー定理を導出したとき。 力によって行われた無限小の作業が正確な微分であり、力が保守的であるかどうかをテストするために使用できる数学的条件があります。 これらの条件は分化を伴うだけであり、したがって適用が比較的容易である。 二次元では、のための条件

正確な微分であるためには、次のようになります

あなたは（図）の力によって行われた作業は、パスに依存していることを思い出すことができます。 その力のために,

したがって、,

それは非保守的な力であることを示しています。 あなたはそれを保守的な力にするために何を変えることができるかを見ることができますか？

このセクションを離れる前に、エネルギーがシステムに失われ、後で有用な作業に変換することができないため、非保守的な力には潜在的なエネルギーが関連していないことに注意してください。 だから、すべての潜在的なエネルギーに関連する保守的な力が常にあります。 私たちは、潜在的なエネルギーが保守的な力によって行われた仕事に関連して定義されていることを見てきました。 力と変位から始めて、あなたは仕事と潜在的なエネルギーの変化を得るために統合しました。 あなたも同様にポテンシャルエネルギーから始めて、変位に関してその導関数を取って力を得ることができました。 ポテンシャルエネルギーの無限小の増分は、力と無限小の変位の内積です,

ここでは、任意の方向への変位を次のように表現することを選択しました

任意の特定の座標方向に限定されないようにする。 また，無限小変位の大きさとその方向の力の成分によって内積を表現した。 これらの量は両方ともスカラーなので、dlで除算して得ることができます

この方程式は、力とそれに関連するポテンシャルエネルギーとの関係を与える。 言い換えれば、特定の方向における保守的な力の成分は、その方向の変位に関して、対応するポテンシャルエネルギーの導関数の負の値に等しい。 一次元運動の場合、x軸に沿って言うと、（図）はベクトル全体の力を与えます,

二次元で,

この方程式から、力の成分の導関数の観点から、仕事が正確な微分であるための条件である理由（図）を見ることができます。 一般に、偏微分記法が使用される。 関数に多くの変数が含まれている場合、偏導関数が指定する変数の導関数のみが取得されます。 他の変数は一定に保持されます。 3次元では、z成分に別の項を追加すると、力はポテンシャルエネルギーの勾配の負の値になります。 しかし、私たちはまだ三次元の例を見ていません。