Universitetsfysikkvolum 1

I Potensiell Energi og Bevaring av Energi, enhver overgang mellom kinetisk og potensiell energi bevart den totale energien i systemet. Dette var sti uavhengig, noe som betyr at vi kan starte og stoppe på noen to punkter i problemet, og systemets totale energi-kinetisk pluss potensial – på disse punktene er lik hverandre. Dette er karakteristisk for en konservativ kraft. Vi jobbet med konservative krefter i den foregående delen, som gravitasjonskraften og vårkraften. Når man sammenligner bevegelsen av fotball i (Figur), den totale energien i systemet aldri endres, selv om gravitasjons potensiell energi av fotball øker, som ballen stiger i forhold til bakken og faller tilbake til den opprinnelige gravitasjons potensiell energi når fotballspilleren fanger ballen. Ikke-konservative krefter er dissipative krefter som friksjon eller luftmotstand. Disse kreftene tar energi bort fra systemet når systemet utvikler seg, energi som du ikke kan få tilbake. Disse kreftene er baneavhengige; derfor er det viktig hvor objektet starter og stopper.

(Figur) Og (Figur) er ekvivalente fordi en lukket bane er summen av to baner: den første går Fra A Til B, og den andre går Fra B Til A. arbeidet som går langs en sti Fra B Til A er det negative av arbeidet som går langs samme sti Fra A Til B, Hvor A Og B er to punkter på den lukkede banen:

Du kan spørre hvordan vi går om å bevise om en kraft er konservativ, siden definisjonene involverer alle veier Fra A Til B, eller alle lukkede baner, men for å gjøre integralet for arbeidet må du velge en bestemt sti. Et svar er at arbeidet er uavhengig av banen hvis det uendelige arbeidet

er en eksakt differensial, måten infinitesimal netto arbeid var lik den eksakte differensial av kinetisk energi,

når vi avledet arbeid-energi teoremet I Arbeid-Energi Teoremet. Det er matematiske forhold som du kan bruke til å teste om det uendelige arbeidet med en kraft er en eksakt differensial, og kraften er konservativ. Disse forholdene involverer bare differensiering og er dermed relativt enkle å anvende. I to dimensjoner er betingelsen for

for å være en nøyaktig differensial er

Du husker kanskje at arbeidet som ble gjort av kraften i (Figur) var avhengig av banen. For denne styrken,

Derfor,

som indikerer at det er en ikke-konservativ kraft. Kan du se hva du kan endre for å gjøre det til en konservativ kraft?

Før vi forlater denne delen, bemerker vi at ikke-konservative krefter ikke har potensiell energi forbundet med dem fordi energien går tapt for systemet og ikke kan omdannes til nyttig arbeid senere. Så det er alltid en konservativ kraft forbundet med enhver potensiell energi. Vi har sett at potensiell energi er definert i forhold til arbeidet utført av konservative krefter. Det forholdet, (Figur), innebar en integrert for arbeidet; starter med kraft og forskyvning, integrert du for å få arbeidet og endringen i potensiell energi. Integrasjon er imidlertid den inverse driften av differensiering; du kunne like godt ha startet med potensiell energi og tatt dens derivat, med hensyn til forskyvning, for å få kraften. Den uendelige økningen av potensiell energi er prikkproduktet av kraften og den uendelige forskyvningen,

Her valgte vi å representere forskyvningen i en vilkårlig retning av

for ikke å være begrenset til en bestemt koordinatretning. Vi uttrykte også prikkproduktet når det gjelder størrelsen på den uendelige forskyvningen og komponenten av kraften i dens retning. Begge disse mengdene er skalarer, slik at du kan dele med dl for å få

denne ligningen gir forholdet mellom kraft og potensiell energi forbundet med den. I ord er komponenten av en konservativ kraft, i en bestemt retning, lik den negative av derivatet av den tilsvarende potensielle energien, med hensyn til en forskyvning i den retningen. For endimensjonal bevegelse, si langs x-aksen, (Figur) gi hele vektorkraften,

I to dimensjoner,

fra denne ligningen kan du se hvorfor (Figur) er betingelsen for at arbeidet skal være en nøyaktig differensial, når det gjelder derivatene av kraftens komponenter. Generelt brukes en delvis derivat notasjon. Hvis en funksjon har mange variabler i den, blir derivatet bare tatt av variabelen den delvise derivatet spesifiserer. De andre variablene holdes konstant. I tre dimensjoner legger du til et annet begrep for z-komponenten, og resultatet er at kraften er negativ av gradienten av potensiell energi. Vi vil imidlertid ikke se på tredimensjonale eksempler ennå.