Universiteitsfysica deel 1 1

In Potentiële Energie en Behoud van Energie, een overgang tussen kinetische en potentiële energie behouden de totale energie van het systeem. Dit was pad onafhankelijk, wat betekent dat we kunnen beginnen en stoppen op twee punten in het probleem, en de totale energie van het systeem—kinetisch plus potentieel—op deze punten zijn gelijk aan elkaar. Dit is kenmerkend voor een conservatieve kracht. In het vorige hoofdstuk hebben we het gehad over conservatieve krachten, zoals de gravitatiekracht en de veerkracht. Bij het vergelijken van de beweging van de voetbal in (Figuur), de totale energie van het systeem nooit verandert, hoewel de gravitationele potentiële energie van de voetbal toeneemt, als de bal stijgt ten opzichte van de grond en valt terug naar de initiële gravitationele potentiële energie wanneer de voetballer vangt de bal. Niet-conservatieve krachten zijn dissipatieve krachten zoals wrijving of luchtweerstand. Deze krachten nemen energie weg van het systeem als het systeem vordert, energie die je niet terug kunt krijgen. Deze krachten zijn padafhankelijk; daarom is het belangrijk waar het object begint en stopt.

(figuur) en (figuur) zijn gelijkwaardig omdat elk gesloten pad de som is van twee paden: de eerste gaat van A naar B, en de tweede gaat van B naar A. Het werk gaat langs een pad van B naar A is het negatief van het werk gaat langs hetzelfde pad van A naar B, waar A en B elk twee punten op het gesloten pad zijn:

je kunt je afvragen hoe we gaan bewijzen of een kracht wel of niet conservatief is, omdat de definities alle paden van A naar B omvatten, of alle gesloten paden, maar om de integraal voor het werk te doen, moet je een bepaald pad kiezen. Een antwoord is dat het werk dat wordt gedaan onafhankelijk is van het pad als het infinitesimale werk

is een exact differentieel, de manier waarop het infinitesimale netwerk gelijk was aan het exacte differentieel van de kinetische energie,

toen we de werk-energiestelling in de werk-Energiestelling afgeleid. Er zijn wiskundige voorwaarden die je kunt gebruiken om te testen of het infinitesimale werk gedaan door een kracht is een exacte differentieel, en de kracht is conservatief. Deze voorwaarden houden alleen differentiatie in en zijn dus relatief eenvoudig toe te passen. In twee dimensies, de voorwaarde voor

om een exact verschil te zijn is

u herinnert zich misschien dat het werk van de kracht in (Figuur) afhing van het pad. Voor die kracht,

daarom,

wat aangeeft dat het een niet-conservatieve kracht is. Zie je wat je kunt veranderen om er een conservatieve kracht van te maken?

voordat we deze sectie verlaten, merken we op dat niet-conservatieve krachten geen potentiële energie hebben die ermee geassocieerd is omdat de energie verloren gaat aan het systeem en niet later in nuttig werk kan worden omgezet. Er is dus altijd een conservatieve kracht verbonden met elke potentiële energie. We hebben gezien dat potentiële energie wordt gedefinieerd in relatie tot het werk van conservatieve krachten. Die relatie, (figuur), omvatte een integraal voor het werk; te beginnen met de kracht en verplaatsing, integreerde je om het werk en de verandering in potentiële energie te krijgen. Integratie is echter de omgekeerde werking van differentiatie; je had net zo goed kunnen beginnen met de potentiële energie en zijn afgeleide kunnen nemen, met betrekking tot verplaatsing, om de kracht te krijgen. De infinitesimale toename van potentiële energie is het puntproduct van de kracht en de infinitesimale verplaatsing,

hier hebben we ervoor gekozen om de verplaatsing in een willekeurige richting weer te geven door

om niet te worden beperkt tot een bepaalde coördinatenrichting. We hebben het puntproduct ook uitgedrukt in termen van de grootte van de infinitesimale verplaatsing en de component van de kracht in zijn richting. Beide hoeveelheden zijn scalaren, dus je kunt delen door dl te krijgen

deze vergelijking geeft de relatie tussen kracht en de potentiële energie die ermee verbonden is. In woorden, de component van een conservatieve kracht, in een bepaalde richting, is gelijk aan het negatief van de afgeleide van de overeenkomstige potentiële energie, met betrekking tot een verplaatsing in die richting. Voor eendimensionale beweging, zeg langs de x-as, (figuur) geef de volledige vectorkracht,

In twee dimensies,

uit deze vergelijking kun je zien waarom (figuur) de voorwaarde is voor het werk om een exact differentieel te zijn, in termen van de afgeleiden van de componenten van de kracht. In het algemeen wordt een partiële afgeleide notatie gebruikt. Als een functie veel variabelen bevat, wordt de afgeleide alleen genomen van de variabele die de partiële afgeleide specificeert. De andere variabelen worden constant gehouden. In drie dimensies voeg je een andere term toe voor de Z-component, en het resultaat is dat de kracht het negatieve is van de gradiënt van de potentiële energie. We zullen echter nog niet naar driedimensionale voorbeelden kijken.