Universidade de Física de Volume 1

Em Energia Potencial e Conservação da Energia, qualquer de transição entre a energia cinética e potencial conservar a energia total do sistema. Isso era independente do caminho, o que significa que podemos começar e parar em dois pontos no problema, e a energia total do sistema—cinética mais potencial—nesses pontos são iguais entre si. Isso é característico de uma força conservadora. Lidamos com forças conservadoras na seção anterior, como a força gravitacional e a força da mola. Ao comparar o movimento do futebol em (Figura), a energia total do sistema nunca muda, embora a energia potencial gravitacional do futebol aumente, à medida que a bola sobe em relação ao solo e volta à energia potencial gravitacional inicial quando o jogador de futebol pega a bola. Forças não conservadoras são forças dissipativas, como fricção ou resistência ao ar. Essas forças tiram energia do sistema à medida que o sistema progride, energia que você não pode recuperar. Essas forças dependem do caminho; portanto, importa onde o objeto começa e para.

(a Figura) e (Figura) são equivalentes porque qualquer caminho fechado é a soma dos dois caminhos: o primeiro vai de a para B, e a segunda vai de B para A. O trabalho feito indo ao longo de um caminho de B para Um é o negativo do trabalho realizado percorrendo o mesmo caminho de a a B, onde A e B são dois pontos quaisquer a caminho fechado:

Você deve se perguntar como vamos provar a existência ou não de uma força conservadora, desde as definições envolvem qualquer e todos os caminhos de a a B, ou qualquer e todos os caminhos fechados, mas para fazer a integral para o trabalho, você tem que escolher um determinado caminho. Uma resposta é que o trabalho feito é independente do caminho, se o trabalho infinitesimal

é uma diferencial exata, a forma como o infinitesimal trabalho da rede, que era igual ao diferencial exata da energia cinética,

quando nós derivada do trabalho-energia, teorema Trabalho-Energia Teorema. Existem condições matemáticas que você pode usar para testar se o trabalho infinitesimal feito por uma força é um diferencial exato e a força é conservadora. Essas condições envolvem apenas diferenciação e, portanto, são relativamente fáceis de aplicar. Em duas dimensões, a condição para

para ser um diferencial exata é

Você pode recordar que o trabalho realizado pela força (da Figura) dependia do caminho. Para que a força,

Portanto,,

o que indica que ele é um não-conservador força. Você pode ver o que você poderia mudar para torná-lo uma força conservadora?

Antes de deixar esta seção, nota-se que não forças conservadoras não têm energia potencial associada a eles, porque a energia é perdida para o sistema e não pode ser transformada em trabalho útil mais tarde. Portanto, há sempre uma força conservadora associada a todas as energias potenciais. Vimos que a energia potencial é definida em relação ao trabalho realizado por forças conservadoras. Essa relação, (figura), envolveu uma integral para o trabalho; começando com a força e o deslocamento, você se integrou para obter o trabalho e a mudança na energia potencial. No entanto, a integração é a operação inversa da diferenciação; você poderia igualmente bem ter começado com a energia potencial e tomado sua derivada, em relação ao deslocamento, para obter a força. O incremento infinitesimal de energia potencial é o produto escalar da força e o deslocamento infinitesimal,

Aqui, optou-se por representar o deslocamento em uma direção arbitrária por

para não estar limitado a um determinado coordenar direção. Também expressamos o produto pontual em termos da magnitude do deslocamento infinitesimal e do componente da força em sua direção. Estas duas quantidades são escalares, então você pode dividir pelo dl para obter

Esta equação fornece a relação entre a força e a energia potencial associada a ele. Em palavras, o componente de uma força conservadora, em uma direção particular, é igual ao negativo da derivada da energia potencial correspondente, em relação a um deslocamento nessa direção. Para uma dimensão do movimento, diga ao longo do eixo x, (Figura a) dar todo o vetor de força,

Em duas dimensões,

a Partir desta equação, pode-se ver por (Figura) é a condição para que o trabalho seja uma diferencial exata, em termos das derivadas das componentes da força. Em geral, uma notação derivada parcial é usada. Se uma função tem muitas variáveis, a derivada é tomada apenas da variável que a derivada parcial especifica. As outras variáveis são mantidas constantes. Em três dimensões, você adiciona outro termo para o componente z, e o resultado é que a força é o negativo do gradiente da energia potencial. No entanto, ainda não veremos exemplos tridimensionais.