volumul fizicii universitare 1

în energia potențială și conservarea energiei, orice tranziție între energia cinetică și energia potențială a conservat energia totală a sistemului. Aceasta a fost o cale independentă, ceea ce înseamnă că putem porni și opri în oricare două puncte ale problemei, iar energia totală a sistemului—potențialul cinetic plus—în aceste puncte sunt egale între ele. Acest lucru este caracteristic unei forțe conservatoare. Ne-am ocupat de forțe conservatoare în secțiunea precedentă, cum ar fi forța gravitațională și forța arcului. Atunci când se compară mișcarea fotbalului în (figura), energia totală a sistemului nu se schimbă niciodată, chiar dacă energia potențială gravitațională a fotbalului crește, pe măsură ce mingea se ridică în raport cu solul și cade înapoi la energia potențială gravitațională inițială atunci când jucătorul de fotbal prinde mingea. Forțele neconservatoare sunt forțe disipative, cum ar fi fricțiunea sau rezistența la aer. Aceste forțe iau energie din sistem pe măsură ce sistemul progresează, energie pe care nu o puteți obține înapoi. Aceste forțe sunt dependente de cale; prin urmare, contează unde începe și se oprește obiectul.

(figura) și (figura) sunt echivalente deoarece orice cale închisă este suma a două căi: primul merge de la A la B, iar al doilea merge de la B La A. lucrarea făcută mergând de-a lungul unei căi de la B la A este negativul lucrării efectuate mergând de-a lungul aceleiași căi de la A la B, unde A și B sunt oricare două puncte pe calea închisă:

s-ar putea să vă întrebați cum vom dovedi dacă o forță este sau nu conservatoare, deoarece definițiile implică oricare și toate căile de la A la B sau oricare și toate căile închise, dar pentru a face integrala pentru lucrare, trebuie să alegeți o anumită cale. Un răspuns este că munca făcută este independentă de cale dacă lucrarea infinitezimală

este un diferențial exact, modul în care munca netă infinitezimală a fost egală cu diferențialul exact al energiei cinetice,

când am derivat teorema muncii-energie în teorema muncii-energie. Există condiții matematice pe care le puteți utiliza pentru a testa dacă munca infinitezimală efectuată de o forță este un diferențial exact, iar forța este conservatoare. Aceste condiții implică doar diferențierea și, prin urmare, sunt relativ ușor de aplicat. În două dimensiuni, condiția pentru

pentru a fi un diferențial exact este

vă puteți aminti că munca făcută de forța din (Figura) depindea de cale. Pentru acea forță,

prin urmare,

ceea ce indică faptul că este o forță non-conservatoare. Puteți vedea ce ați putea schimba pentru a face o forță conservatoare?

înainte de a părăsi această secțiune, observăm că forțele non-conservatoare nu au energie potențială asociată cu ele, deoarece energia este pierdută în sistem și nu poate fi transformată în muncă utilă mai târziu. Deci, există întotdeauna o forță conservatoare asociată cu fiecare energie potențială. Am văzut că energia potențială este definită în raport cu munca depusă de forțele conservatoare. Această relație, (Figura), a implicat o integrală pentru muncă; începând cu forța și deplasarea, v-ați integrat pentru a obține munca și schimbarea energiei potențiale. Cu toate acestea, integrarea este operația inversă a diferențierii; la fel de bine ați fi putut începe cu energia potențială și ați luat derivata sa, în ceea ce privește deplasarea, pentru a obține forța. Creșterea infinitesimală a energiei potențiale este produsul punct al forței și al deplasării infinitesimale,

aici, am ales să reprezentăm deplasarea într-o direcție arbitrară prin

pentru a nu fi limitat la o anumită direcție de coordonate. De asemenea, am exprimat produsul punct în ceea ce privește magnitudinea deplasării infinitesimale și componenta forței în direcția sa. Ambele cantități sunt scalare, astfel încât să puteți împărți cu dl pentru a obține

această ecuație dă relația dintre forță și energia potențială asociată cu ea. În cuvinte, componenta unei forțe conservatoare, într-o anumită direcție, este egală cu negativul derivatului energiei potențiale corespunzătoare, în raport cu o deplasare în acea direcție. Pentru mișcarea unidimensională, spuneți de-a lungul axei x, (figura) dați întreaga forță vectorială,

în două dimensiuni,

din această ecuație, puteți vedea de ce (figura) este condiția ca lucrarea să fie un diferențial exact, în ceea ce privește derivatele componentelor forței. În general, se utilizează o notație derivată parțială. Dacă o funcție are multe variabile în ea, derivata este luată numai din variabila specifică derivata parțială. Celelalte variabile sunt menținute constante. În trei dimensiuni, adăugați un alt termen pentru componenta z, iar rezultatul este că forța este negativul gradientului energiei potențiale. Cu toate acestea, nu vom analiza încă Exemple tridimensionale.