Universitetsfysikvolym 1

i potentiell energi och bevarande av energi, varje övergång mellan kinetisk och potentiell energi bevarade systemets totala energi. Detta var väg oberoende, vilket innebär att vi kan starta och stoppa vid två punkter i problemet, och den totala energin i systemet—kinetic plus potential—vid dessa punkter är lika med varandra. Detta är karakteristiskt för en konservativ kraft. Vi behandlade konservativa krafter i föregående avsnitt, såsom gravitationskraften och fjäderkraften. När man jämför fotbollens rörelse i (Figur) förändras systemets totala energi aldrig, även om fotbollens gravitationspotentialenergi ökar, när bollen stiger i förhållande till marken och faller tillbaka till den ursprungliga gravitationspotentialenergin när fotbollsspelaren fångar bollen. Icke-konservativa krafter är dissipativa krafter som friktion eller luftmotstånd. Dessa krafter tar energi bort från systemet när systemet fortskrider, energi som du inte kan få tillbaka. Dessa krafter är vägberoende; därför spelar det roll var objektet börjar och stannar.

(figur) och (figur) är ekvivalenta eftersom varje sluten väg är summan av två vägar: den första går från A till B, och den andra går från B till A. Det arbete som utförs längs en väg från B till A är det negativa av det arbete som utförs längs samma väg från A till B, där A och B är två punkter på den stängda vägen:

du kanske frågar hur vi ska bevisa huruvida en kraft är konservativ eller inte, eftersom definitionerna involverar alla vägar från A till B eller alla stängda vägar, men för att göra integralet för arbetet måste du välja en viss väg. Ett svar är att arbetet är oberoende av vägen om det oändliga arbetet

är en exakt skillnad, hur det oändliga nätet var lika med den exakta skillnaden mellan den kinetiska energin,

när vi härledde work-energy theorem i Work-Energy Theorem. Det finns matematiska förhållanden som du kan använda för att testa om det oändliga arbetet som utförs av en kraft är en exakt skillnad, och kraften är konservativ. Dessa villkor innebär endast differentiering och är således relativt lätta att tillämpa. I två dimensioner, villkoret för

att vara en exakt skillnad är

du kanske kommer ihåg att arbetet som utfördes av kraften i (Figur) berodde på vägen. För den kraften,

därför,

vilket tyder på att det är en icke-konservativ kraft. Kan du se vad du kan ändra för att göra det till en konservativ kraft?

innan vi lämnar detta avsnitt noterar vi att icke-konservativa krafter inte har potentiell energi associerad med dem eftersom energin går förlorad för systemet och inte kan omvandlas till användbart arbete senare. Så det finns alltid en konservativ kraft i samband med varje potentiell energi. Vi har sett att potentiell energi definieras i förhållande till det arbete som utförs av konservativa krafter. Det förhållandet, (figur), involverade en integral för arbetet; börjar med kraften och förskjutningen, du integrerade för att få arbetet och förändringen i potentiell energi. Men integration är den inversa funktionen av differentiering; du kunde lika bra ha börjat med den potentiella energin och tagit sitt derivat, med avseende på förskjutning, för att få kraften. Den oändliga ökningen av potentiell energi är punktprodukten av kraften och den oändliga förskjutningen,

här valde vi att representera förskjutningen i godtycklig riktning genom att

för att inte begränsas till någon särskild koordinatriktning. Vi uttryckte också punktprodukten när det gäller storleken på den oändliga förskjutningen och komponenten av kraften i dess riktning. Båda dessa kvantiteter är skalärer, så du kan dela med dl för att få

denna ekvation ger förhållandet mellan kraft och den potentiella energi som är associerad med den. I ord är komponenten av en konservativ kraft, i en viss riktning, lika med negativet av derivatet av motsvarande potentiell energi, med avseende på en förskjutning i den riktningen. För endimensionell rörelse, säg längs x-axeln, (figur) ge hela vektorkraften,

i två dimensioner,

från denna ekvation kan du se varför (figur) är villkoret för att arbetet ska vara en exakt skillnad, vad gäller derivaten av kraftens komponenter. I allmänhet används en partiell derivatnotation. Om en funktion har många variabler i sig tas derivatet endast av variabeln som det partiella derivatet anger. De andra variablerna hålls konstanta. I tre dimensioner lägger du till en annan term för z-komponenten, och resultatet är att kraften är den negativa av gradienten för den potentiella energin. Vi kommer dock inte att titta på tredimensionella exempel ännu.