Volumen de Física Universitaria 1

En Energía Potencial y Conservación de Energía, cualquier transición entre energía cinética y energía potencial conserva la energía total del sistema. Esto era independiente de la trayectoria, lo que significa que podemos comenzar y parar en dos puntos cualesquiera del problema, y la energía total del sistema, cinética más potencial, en estos puntos son iguales entre sí. Esto es característico de una fuerza conservadora. En la sección anterior tratamos las fuerzas conservadoras, como la fuerza gravitacional y la fuerza de resorte. Al comparar el movimiento del balón en (Figura), la energía total del sistema nunca cambia, a pesar de que la energía potencial gravitacional del balón aumenta, a medida que el balón se eleva en relación con el suelo y vuelve a la energía potencial gravitacional inicial cuando el jugador de fútbol atrapa el balón. Las fuerzas no conservadoras son fuerzas disipativas, como la fricción o la resistencia al aire. Estas fuerzas quitan energía del sistema a medida que el sistema progresa, energía que no se puede recuperar. Estas fuerzas dependen de la trayectoria; por lo tanto, importa dónde comienza y se detiene el objeto.

(Figura) y (Figura) son equivalentes porque cualquier trazado cerrado es la suma de dos trazados: el primero va de A a B, y el segundo va de B a A. El trabajo realizado yendo a lo largo de un camino de B a A es el negativo del trabajo realizado yendo a lo largo del mismo camino de A a B, donde A y B son dos puntos cualesquiera en el camino cerrado:

Usted podría preguntarse cómo vamos a probar si una fuerza es conservadora o no, ya que las definiciones involucran todos y cada uno de los caminos de A a B, o todos y cada uno de los caminos cerrados, pero para hacer la integral para el trabajo, tiene que elegir un camino en particular. Una respuesta es que el trabajo realizado es independiente del camino si el trabajo infinitesimal

es un diferencial exacto, la forma en que el trabajo neto infinitesimal era igual al diferencial exacto de la energía cinética,

cuando derivamos el teorema de energía de trabajo en el Teorema de Energía de Trabajo. Hay condiciones matemáticas que se pueden usar para probar si el trabajo infinitesimal realizado por una fuerza es un diferencial exacto, y la fuerza es conservadora. Estas condiciones solo implican diferenciación y, por lo tanto, son relativamente fáciles de aplicar. En dos dimensiones, la condición para

ser un diferencial exacto es

Usted puede recordar que el trabajo realizado por la fuerza en (Figura) dependía del camino. Para que la fuerza,

por lo Tanto,

lo que indica que no es una fuerza conservadora. ¿Puedes ver lo que podrías cambiar para convertirlo en una fuerza conservadora?

Antes de salir de esta sección, observamos que las fuerzas no conservadoras no tienen energía potencial asociada a ellas porque la energía se pierde en el sistema y no se puede convertir en trabajo útil más tarde. Así que siempre hay una fuerza conservadora asociada con cada energía potencial. Hemos visto que la energía potencial se define en relación con el trabajo realizado por las fuerzas conservadoras. Esa relación, (Figura), implicaba una integral para el trabajo; comenzando con la fuerza y el desplazamiento, se integraba para obtener el trabajo y el cambio en la energía potencial. Sin embargo, la integración es la operación inversa de la diferenciación; igualmente podrías haber comenzado con la energía potencial y haber tomado su derivada, con respecto al desplazamiento, para obtener la fuerza. El incremento infinitesimal de energía potencial es el producto escalar de la fuerza y el desplazamiento infinitesimal,

Aquí, hemos elegido para representar el desplazamiento en una dirección arbitraria, por

para no restringirse a cualquier particular coordinar dirección. También expresó el producto escalar en términos de la magnitud del desplazamiento infinitesimal y la componente de la fuerza en su dirección. Ambas cantidades son escalares, por lo que puede dividir por dl para obtener

Esta ecuación da la relación entre la fuerza y la energía potencial asociada a ella. En palabras, el componente de una fuerza conservadora, en una dirección particular, es igual al negativo de la derivada de la energía potencial correspondiente, con respecto a un desplazamiento en esa dirección. Para el movimiento unidimensional, digamos a lo largo del eje x, (Figura) da la fuerza vectorial completa,

En dos dimensiones,

A partir de esta ecuación, se puede ver por qué (Figura) es la condición para que el trabajo sea un diferencial exacto, en términos de las derivadas de los componentes de la fuerza. En general, se utiliza una notación derivada parcial. Si una función tiene muchas variables, la derivada se toma solo de la variable especificada por la derivada parcial. Las otras variables se mantienen constantes. En tres dimensiones, se agrega otro término para el componente z, y el resultado es que la fuerza es el negativo del gradiente de la energía potencial. Sin embargo, todavía no veremos ejemplos tridimensionales.